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§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 75

tor abh

angen, erh

alt man nichtlineare FEM–FCT–Verfahren, die in [KMT04, KM05]

beschrieben sind. F

ur den Fall, dass die Gewichte alle gleich Eins sind, erh

alt man die

Galerkin–Finite–Element–Methode (III.17) zur

uck [JS08].

Dem linearen FEM–FCT–Verfahren, dass in [Kuz09] beschrieben wird, liegt folgende

Idee zugrunde: Man ersetzt u

in Gleichung (III.22) durch eine Approximation, die

mit einem expliziten Schema berechnet wird. Zu diesem Zweck, deﬁniert man einen

Zwischenwert

k−1/2

+ u

k−1

und setzt diesen in (III.22) ein

= 2m



k−1/2,i

− u

k−1,i



− 2m



k−1/2,j

− u

k−1,j



−∆t



k−1/2,i

− u

k−1/2,j



. (III.23)

Die Approximation von u

k−1/2

kann mittels des Vorw

arts–Euler–Verfahrens berechnet

werden, indem man im diskreten Zeitpunkt t

k−1

einen halben Zeitschritt ∆t

/2 macht,

˜u

= u

k−1

−

∆t

−1



k−1

− f

k−1



. (III.24)

Die numerischen Fl

usse des linearen FEM–FCT–Verfahrens erh

alt man dann durch

Einsetzen dieser Approximation in (III.23),

= ∆t





k−1/2,i

− v

k−1/2,j



− d



˜u

− ˜u



mit den abk

urzenden Schreibweisen

k−1/2,i



−1



k−1

− Lu

k−1



˜u

= u

k−1

∆t

k−1/2,i

Zur Berechnung der Gewichte wird der Algorithmus von Zalesak [Zal79] benutzt.

Eine Motivation f

ur diesen, ﬁndet sich zusammen mit einer ausf

uhrlichen Diskussion in

[KM05]. Analog zu [JS08] wird hier aus Gr

unden der Vollst

andigkeit der Algorithmus

nur kurz wiedergegeben:

1. Berechne die Summen der positiven und der negativen antidiﬀusiven Fl

usse im

Knoten i

j=1,j6=i

max {0, r

} , P

−

j=1,j6=i

min {0, r

} ,

1 2 ... 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 ... 194 195

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