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30 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str

omungen

vernachl

assigt wird, ergibt dies in der ersten Gleichung:

A (u; (

u, ˆp) , (

v, ¯q)) = 0. (II.23)

Der Ausdruck A (u; (

u, ˆp) , (

v, ˜q)) in der zweiten Gleichung kann als Einﬂuss der nicht-

gel

osten Skalen auf die kleinen gel

osten Skalen verstanden werden und wird daher durch

ein Turbulenzmodell modelliert,

A (u; (

u, ˆp) , (

v, ˜q)) = B (u; (

u, ¯p) , (

u, ˜p) , (

v, ˜q)) . (II.24)

Dies zeigt noch einmal die Philosophie der 3–Level–VMS–Methoden, n

amlich den

Einﬂuss des ben

otigten Turbulenzmodells zu beschr

anken, indem es nur auf die kleinen

gel

osten Skalen direkt angewendet wird.

Die Wahl des Modells B (u; (

u, ¯p) , (

u, ˜p) , (

v, ˜q)) selbst wird dabei durch physika-

lische Ideen der Turbulenzmodellierung und eventuell von speziellen, anwendungsbe-

zogenen

Uberlegungen bestimmt. Vom numerischen Standpunkt aus wird durch das

Modell zus

atzliche Viskosit

at in das System gebracht, die als numerische Stabilisierung

dient. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass Turbulenzmodelle bei den VMS–

Methoden nicht zur Modellierung des Reynolds–Spannungstensors eingef

uhrt werden

wie bei der klassischen LES–Methode, sondern den Einﬂuss der nichtgel

osten Skalen

modellieren [JK05]. Zur Beschreibung der Eﬀekte dieser Turbulenzelemente wird oft

auf das weitverbreitete Smagorinsky–Modell und seine vielf

altigen Varianten zur

uckge-

griﬀen.

Durch die obigen

Uberlegungen und Vereinfachungen ergibt sich ein neues Glei-

chungssystem:

Finde u =

u +

u : [0, T ] →

V ⊕

V und p = ¯p + ˜p : (0, T ] →

Q ⊕

Q, so dass

A (

u +

u; (

u, ¯p) , (

v, ¯q)) + A (

u +

u; (

u, ˜p) , (

v, ¯q)) = F (

v) , (II.25)

A (

u +

u; (

u, ¯p) , (

v, ˜q)) + A (

u +

u; (

u, ˜p) , (

v, ˜q))

+B (

u +

u; (

u, ¯p) , (

u, ˜p) , (

v, ˜q)) = F (

v) , (II.26)

ur alle (

v, ¯q, ˜q) ∈

V ×

Q×

Q erf

ullt ist, wobei B (

u +

u; (

u, ¯p) , (

u, ˜p) , (

v, ˜q))

das nur auf den kleinen gel

osten Skalen agierende Modell ist.

Dem Einﬂuss auf die großen Skalen, z.B. durch die Energiekaskade, wird indirekt

durch die Kopplung der beiden nichtlinearen Gleichungen Rechnung getragen, was

einen weiteren Unterschied zu den klassischen LES–Methoden darstellt.

Um eine konkrete VMS–Methode zu charakterisieren, m

ussen also geeignete R

au-

V ,

Q und ein passendes Modell B (

u +

u; (

u, ¯p) , (

u, ˜p) , (

v, ˜q)) deﬁniert

werden.

Betrachtet man die Finite–Element–Methode zur Diskretisierung von (II.25), so gibt

es mindestens zwei grundlegend verschiedene Herangehensweisen zur Realisierung einer

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