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§4 Die Variationelle Mehrskalen–Methode 31

VMS–Methode. Einmal die Wahl von Standard–Finite–Element–R

aumen f

ur die großen

Skalen

V ×

Q in Verbindung mit Finite–Element–R

aumen basierend auf Blasenfunk-

tionen f

ur die R

aume

V ×

Q, die eine h

ohere Auﬂ

osung ben

otigen [Gra03, GWR05].

Dieser Ansatz kann abh

angig von der Wahl der Blasenfunktionen noch weiter unter-

teilt werden. Da im Weiteren aber eine andere Vorgehensweise betrachtet wird, sei hier

noch auf [JT06] und f

ur numerische Untersuchungen auf [JK10] verwiesen.

§4.1 Die projektions–basierte Finite–Element VMS–Methode (FEVMS)

Bei diesem Konzept zur Wahl der geeigneten R

aume beginnt man mit einen Standard–

Finite–Element–Raum f

ur alle gel

osten Skalen und deﬁniert dann zus

atzlich einen Raum

um die großen Skalen zu beschreiben [JK05]. Dabei verfolgt man prinzipiell die glei-

chen Ideen wie bei der dynamischen SGS–Methode, da beide Methoden den Einﬂuss

des Turbulenzmodells beschr

anken [Lil92, GPMC91]. Da das Smagorinsky–Modell mit

konstantem Parameter C

zuviel Diﬀusion einf

uhrt, wird dort, um dessen Einﬂuss zu

begrenzen, eine geeignete Funktion C

(t, x) an Stelle von C

verwendet. Bei den

VMS–Methoden hingegen wird der Einﬂuss durch die ad

aquate Wahl eines Raumes f

die kleinen Skalen beschr

ankt [Joh06a].

Seien V

und Q

Finite–Element–R

aume f

ur die Geschwindigkeit und den Druck, die

die inf–sup Stabilit

atsbedingung erf

ullen. Das heißt, es existiert eine positive Konstante

C unabh

angig von der Gitterfeinheit h, so dass gilt:

inf

∈Q

sup

∈V



∇ · v

, q



k∇v

≥ C.

Dar

uber hinaus seien L

⊂ L =

L ∈ (L

(Ω))

d×d

, L = L

ein endlich-dimen-

sionaler Raum von symmetrischen d×d tensorwertigen Funktionen, um die großen Ska-

len zu beschreiben und ν

= ν



t, x, u

, p



eine nichtnegative Funktion, die die tur-

bulente Viskosit

at repr

asentiert. Damit ergibt sich f

ur die (semi-diskrete) projektions–

basierte FEVMS–Methode die folgende Form:

Finde u

: [0, T ] → V

, p

: (0, T ] → Q

und G

: [0, T ] → L

, so dass



, v



+ (2Re

−1

D(u

), D(v

)) + ((u

· ∇)u

, v

)

−(p

, ∇ · v

) +



D(u

) − G



, D(v

)





f, v



∀ v

∈ V

, ∇ · u

) = 0 ∀ q

∈ Q



D(u

) − G

, L



= 0 ∀ L

∈ L

(II.27)

Die letzte Gleichung von (II.27) zeigt, dass G

die L

–Projektion von D(u

) in den

Raum der großen Skalen L

ist und somit G

den großskaligen Anteil von D(u

)

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