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80 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

gleichungen entwickelt wurden, k

onnen sie gut auf Gleichungen vom Typ (III.9) ange-

wandt werden. Nach der Diskretisierung in der Zeit, wird die Populationsbilanz (III.9)

mit der Galerkin–Finite–Element–Methode mit dem Q

Finite–Element im Raum dis-

kretisiert. Auf die dabei assemblierten Matrizen wird dann das obige lineare FEM–FCT–

Verfahren angewandt, da f

ur dieses Schema akkurate und genaue L

osungen erwartet

werden k

onnen [Kuz09].

Allerdings sind die FEM–FCT–Verfahren aus verschiedenen Gr

unden recht teuer.

Einmal, weil die Assemblierung von Finite–Element–Matrizen in h

oheren Dimensionen

Quadraturregeln erfordert, die hinreichend viele Quadraturpunkte einbeziehen und die

Anwendung solcher Verfahren zur numerischen Integration in drei oder mehr Dimen-

sionen sehr zeitintensiv sind [Joh06b]. Des Weiteren wird die Flusskorrektur (engl.:

ﬂux–correction) mit steigender Anzahl von Freiheitsgraden und steigender Konnektivi-

at der Matrixeintr

age immer aufwendiger und damit teurer. Ungl

ucklicherweise treten

bei h

oher–dimensionalen Problemen, wie Gleichung (III.9), beide potentielle Schwie-

rigkeiten auf und dar

uber hinaus erfordert das Verfahren zus

atzlich die L

osung eines

linearen Gleichungssystems in jedem diskreten Zeitschritt, was die Rechenzeit noch

weiter verl

angert.

Aus diesem Grund sollen auch weniger aufwendige Verfahren zur Diskretisierung der

Populationsbilanz untersucht und mit dem linearen FEM–FCT–Verfahren verglichen

werden. Dazu werden im n

achsten Kapitel Simulationen mit dem expliziten und dem

impliziten Euler–Verfahren mit einem Upwind–Finite–Diﬀerenzen–Verfahren, [LeV92],

asentiert.

Beim expliziten Euler–Verfahren wird, wie bei allen expliziten Verfahren, der zuk

unf-

tige Zustand des System aus dem gegenw

artig Bekannten berechnet. In diesem Fall

sind dies das Str

omungsfeld der L

osung u

und das Konzentrationsfeld des gel

osten

Produkts c

C,k

. Daraus ergibt sich die Darstellung zur Berechnung der Partikelgr

oßen-

verteilung zum Zeitpunkt t

= f

k−1

− ∆t



· ∇f

k−1

C,∞

∞

p,∞



C,k

−

sat

C,∞



∂f

k−1

∂d



. (III.29)

Die beiden Konvektionsterme auf der rechten Seite wurden hier mit einem Upwind–

Verfahren diskretisiert. Betrachtet man beispielsweise als St

utzstelle den Knoten

(x, d

p,i

), dann approximiert das Upwind–Verfahren den Konvektionsterm im Eigen-

schaftsraum bez

uglich der inneren Koordinate in (x, d

p,i

) durch



∂f

k−1

∂d



(x, d

p,i

)

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