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§2 Turbulente Str

omungen und Schwierigkeiten ihrer Simulation 21

An dieser Stelle soll nun auch auf die Situation in zwei Dimensionen eingegangen

werden, da zwischen zwei- und dreidimensionalen turbulenten Str

omungen grundlegen-

de Unterschiede existieren. Zum einen verhalten sich die kleinsten Skalen, im Gegensatz

zu (II.15), in zwei Dimensionen wie λ =O (Re

−

), siehe [Kra67], und zum anderen

gibt es in der Physik genau genommen keine zweidimensionalen Str

omungen.

Dieses l

asst sich sehr gut mit Hilfe der Wirbeldichte ω

ω aufzeigen, die deﬁniert ist

als Rotation des Geschwindigkeitsfeldes, ω

ω = ∇ × u. Wendet man den Rotations-

operator auf die Navier–Stokes–Gleichungen (II.10) mit f = 0 an, erh

alt man eine

Entwicklungsgleichung f

ur die Wirbeldichte,

∂ω

∂t

− 2Re

−1

∇ · D (ω

ω) + (u · ∇) ω

ω − (ω

ω · ∇) u = 0.

In dieser Gleichung wurde ber

ucksichtigt, dass die Rotation des Druckterms verschwin-

det, ∇ × ∇p = 0. Zus

atzlich kann auch der viskose Term f

ur große Reynolds–Zahlen

vernachl

assigt werden,

dω

∂ω

∂t

+ (u · ∇) ω

ω ≈ ω

ω · ∇u. (II.16)

Dies entspricht einer Gleichung f

ur ein inﬁnitesimales Material–Linienelement [Joh06a].

Wenn die Dehnungsgeschwindigkeit, hervorgerufen durch den Geschwindigkeitsgradi-

enten ∇u, das Linienelement dehnt, dann wird auch der Betrag |ω

ω| gedehnt. Diesen

Aspekt nennt man Wirbeldehnung, ein wichtiges Charakteristikum dreidimensionaler

Str

omungen.

In zweidimensionalen Str

omungen ist die rechte Seite der Gleichung (II.16) aller-

dings gleich Null, daher tritt hier keine Wirbeldehnung auf. Deren Fehlen zeigt, f

große Reynolds–Zahlen, einen qualitativen Unterschied zu dreidimensionalen Str

omun-

gen [Pop00].

Dennoch sind Str

omungen in zwei Dimensionen, vom mathematischen Standpunkt

aus, ein n

utzliches Hilfsmittel f

ur numerische Experimente und Tests neuer Verfahren.

So kann man sagen, dass Verfahren, die in zwei Dimensionen scheitern, sehr wahr-

scheinlich in drei Dimensionen ebenfalls versagen werden. Andererseits gilt, dass gute

Ergebnisse in zwei Dimensionen, ohne weitere Studien nicht zwangsl

auﬁg auf drei Di-

mensionen

ubertragbar sind [Joh06a].

Konsequenzen f

ur die numerische Simulation

Die numerische Simulation von turbulenten Str

omungen bereitet im Allgemeinen meh-

rere prinzipielle Probleme. Zum einen, durch die bereits erw

ahnte Dominanz der nicht-

linearen Eﬀekte und zum anderen durch das große kontinuierliche Spektrum an exis-

tierenden Skalen. Die Schwierigkeiten bei einer akkuraten Auﬂ

osung dieses Spektrums

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