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§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 77

sich bei der simultanen L

osung meist Eigenschaften der Teilprobleme, wie beispielswei-

se d

unnbesetzte Matrizen, nicht auf das Gesamtsystem vererben und erm

oglicht, da

die Systemgleichungen nur schwach gekoppelt sind, eine sequentielle L

osungsstrategie.

Die Teilprobleme werden also getrennt voneinander gel

ost und die Kopplungseinﬂ

usse

werden durch Geschwindigkeits- und Konzentrationsfelder

ubertragen. Dabei hat die

sequentielle L

osungsstrategie den Vorteil, dass bei der Implementierung des L

osungsal-

gorithmus auf jedes Teilproblem gesondert eingegangen werden kann und dadurch je-

weils spezielle L

osungsstrategien zum Einsatz kommen k

onnen. Allerdings hat dies den

Nachteil, das Stabilisierungs- und Konvergenzaussagen sehr erschwert werden [FP80].

Als erster Schritt bei dieser konzeptionellen Herangehensweise erfolgt eine Zeitdiskre-

tisierung aller Systemgleichungen mit einer einheitlichen Zeitschrittl

ange. Dieser Ansatz

uhrt in jedem diskreten Zeitpunkt zu einem gekoppelten System von Gleichungen, das

im Raum linearisiert, diskretisiert und iterativ gel

ost werden muss.

Die Navier–Stokes–Gleichungen (III.6) bilden hier den Ausgangspunkt, da sie weder

von den Konzentrationsfeldern c

, c

und c

noch von der Partikelgr

oßenverteilung f

abh

angen. Dar

uber hinaus sind die Navier–Stokes–Gleichungen

uber das Geschwindig-

keitsfeld u der zugrundeliegenden Str

omung mit den Konvektionstermen der anderen

Gleichungen des gekoppelten Systems verbunden. Analog zur Zeitdiskretisierung der

Navier–Stokes–Gleichungen im letzten Kapitel wird auch hier ein Zwischenschritt–θ–

Verfahren angewandt. Allerdings ist hier f

ur die betrachteten Anwendungen, im Gegen-

satz zu (II.35), der Vektor der rechten Seite f = 0 gesetzt, weshalb die entsprechenden

Terme aus (II.35) entfallen. Außerdem wird, bei den Rechnungen mit einem zweidi-

mensionalen Reaktor, an Stelle des Deformationstensors D (u

) die Laplace–Operator

Schreibweise ∆u

verwendet.

In den numerischen Simulationen im n

achsten Kapitel wird immer das Crank–

Nicolson–Verfahren, θ

= θ

= 0.5, zur Zeitdiskretisierung benutzt, da es

in numerischen Studien zu inkompressiblen laminaren Str

omungen ein gutes Verh

altnis

von Genauigkeit zu Eﬃzienz zeigte [JMR06]. Insbesondere im Vergleich zum impliziten

uckw

arts–Euler–Verfahren, θ

= θ

= 1, θ

= θ

= 0, erwies es sich als wesent-

lich exakter [Joh04b, JMR06]. Das Crank–Nicolson–Verfahren geht auf [CN47] zur

uck

und ist ein implizites Einschritt–Verfahren, das auf den Ideen der Finite–Diﬀerenzen–

Verfahren basiert. Dabei ist es ein A-stabiles, aber nicht stark A-stabiles Verfahren

zweiter Ordnung.

Im n

achsten Schritt wird das System mit einer Fixpunktiteration linearisiert (Oseen–

Gleichungen) und mit einer inf–sup stabilen Finite–Element–Methode im Raum dis-

kretisiert, wobei im Folgenden das Q

Finite–Element f

ur die Str

omungsgeschwindig-

keit und das P

disc

Finite–Element f

ur den Druck verwendet werden. Dieses Paar von

Finite–Element–R

aumen zeigte sich in numerischen Untersuchungen als eine der bes-

ten M

oglichkeiten zur Diskretisierung der inkompressiblen (laminaren) Navier–Stokes–

Gleichungen [GS00, Joh04b, Joh06b]. Da in den numerischen Simulationen auch lami-

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