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§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 9

∂

i=1

∂

∂ex





Diese Deﬁnition beschreibt die Materialableitung

, mit Hilfe der Eulerschen Ablei-

tungen

∂

∂ex

und

∂

Abschließend kann man sagen, dass sich die Materialableitung aus der lokalen zeitli-

chen

Anderung an einem festen Punkt und einem konvektiven Anteil, resultierend aus

der Bewegung des Kontinuums, zusammensetzt.

Ein bedeutendes Instrument im Rahmen der Herleitung von Erhaltungsgleichungen

ist das Transporttheorem von Reynolds.

Dieses, auch Kontrollvolumen–Gleichung genannt, zeigt die zeitliche Ver

anderung

einer physikalischen Gr

oße in einem sich bewegenden Kontrollvolumen. Es beschreibt

die Wirkung der Materialableitung, wenn diese auf ein Integral einer Funktion

uber

einem gegebenen Volumen angewandt wird,



F dV





+ F (∇ ·



dV.

Das betrachtete Volumen V ist eingebettet in das Fluid und bewegt sich mit diesem.

Das Reynolds–Theorem gibt also die totale zeitliche

Anderungsrate von

F dV an.

Wenn man nun die Materialableitung durch die Eulerschen Ableitungen ausdr

uckt,

erh

alt man

F dV =



∂F

∂

+ (

u · ∇) F + F (∇ ·



dV. (II.4)

Mit einem als linear angenommenen Impuls, d.h. F = e%

u, kann man den Operator

∇ · (

uF ) folgendermaßen entwickeln:

∇ · (

uF ) = ∇ · [

u (e%

u)]

= ∇ · [

u ⊗ (e%

u)]

j=1

∂

∂ex

(e% eu

)

i=1,2,3

j=1

∂

∂ex

(e%eu

) + e%eu

∂

∂ex

i=1,2,3

= (

u · ∇) (e%

u) + (e%

u) (∇ ·

= (

u · ∇) F + F (∇ ·

u) .

Diese Beziehung kann in das Transporttheorem f

ur den linearen Impuls eingesetzt wer-

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