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§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen 15

Physikalische Gr

oße Maßzahl M L T

charakteristische Geschwindigkeit u

∞

= x

0 1 −1

Dichte ρ = x

1 −3 0

dynamische Viskosit

at η = x

1 −1 −1

charakteristische L

ange l

∞

= x

0 1 0

charakteristische Zeit t

∞

= x

0 0 1

Tabelle II.1: Dimensionstafel zur Herleitung der Reynolds–Zahl

Sind mehrere Potenzprodukte gegeben, so deﬁniert sich ihre Exponentenmatrix K

durch die Gleichung

L = KA.

Nach [Goe75] bilden Potenzprodukte genau dann ein unabh

angiges System, wenn die

Zeilen von K linear unabh

angig sind. Ein Potenzprodukt Π heißt dimensionslos, wenn

die physikalische Gr

oße mit der Maßzahl Π dimensionslos ist, d.h.

[Π] =

j=1

= 1 bzw. l = kA = 0.

Ein System von dimensionslosen Potenzprodukten, Π

, . . . , Π

, der x

, . . . , x

heißt

Fundamentalsystem dimensionsloser Potenzprodukte, wenn es ein unabh

angiges Sys-

tem ist und wenn jedes beliebige dimensionslose Potenzprodukt der x

, . . . , x

sich als

Potenzprodukt der Π

, . . . , Π

darstellen l

asst.

Als Beispiel einer Dimensionsanalyse werden nun die inkompressiblen Navier–Stokes–

Gleichungen betrachtet. Die folgende Dimensionstafel zeigt den Zusammenhang zwi-

schen dem {M, L, T}–System und den ben

otigten Maßzahlen der physikalischen Gr

ßen.

ur die Dimensionsmatrix aus der Tabelle II.1 ergibt sich

n = 5

rang(A) = r = 3

)

=⇒ n − r = 5 − 3 = 2 = l.

Das Fundamentalsystem besteht also aus l = 2 dimensionslosen und unabh

angigen

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