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Kapitel II

Numerische Simulation turbulenter

inkompressibler Str

omungen

§1 Die Navier–Stokes–Gleichungen

§1.1 Die Kontinuit

atsgleichung

Die Kontinuit

atsgleichung beschreibt das Verhalten der Dichte in einem Volumen. We-

sentlichste Aussage ist, dass die Quelle eines Flusses von Objekten die zeitliche

Ande-

rung seiner Dichte ist. F

ur die Herleitung der Kontinuit

atsgleichung betrachtet man

ein beliebiges Volumen V mit der Masse

e% dV . Des Weiteren wird angenommen,

dass die Oberﬂ

ache von V die Bedingungen des Satzes von Gauß erf

ullt.

Die zeitliche Ver

anderung der Dichte entspricht hier dem Zu- und Abﬂuss des be-

trachteten Volumens. Pro Zeiteinheit ﬂießt durch ein Oberﬂ

achenelement ds (orien-

tiert in Richtung der

außeren Fl

achennormale) die Fluidmenge e%

u ds, wobei

u =

(eu

, eu

)

die Str

omungsgeschwindigkeit ist.

Der Fluss durch die Gesamtoberﬂ

ache ist also

∂V

u ds.

Auf der anderen Seite kann die zeitliche

Anderung des Fluids in dem Volumen auch

folgendermaßen beschrieben werden,

−

∂

% dV.

Da die Ver

anderung des Fluides im Volumen gleich dem Fluss durch die Oberﬂ

ache

sein muss, gilt die Beziehung

∂

e% dV = −

∂V

u ds.

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