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§3 Diskretisierung des gekoppelten Systems 69

Randbedingungen betrachtet.

Sei V

der Teilraum von H

(Ω), dessen Elemente die Dirichlet–Randbedingungen

erf

ullen und V

der Teilraum von H

(Ω), dessen Funktionen auf ∂Ω

verschwinden.

Damit liest sich die variationelle Formulierung von (III.11) wie folgt:

Finde c

∈ V

, so dass

, v) + θ

∆t

[(ε∇c

, ∇v) + (u

· ∇c

+ r

, v)]

= (c

k−1

, v) − θ

∆t

[(ε∇c

k−1

, ∇v) + (u

k−1

· ∇c

k−1

+ r

k−1

, v)] (III.12)

+θ

∆t

k−1

, v) + θ

∆t

, v) ,

ur alle v ∈ V

gilt.

Die Galerkin–Finite–Element–Formulierung von (III.12) erh

alt man, indem die unend-

lich dimensionalen R

aume V

und V

durch geeignete Finite–Element–R

aume ersetzt

werden. Da die Deﬁnition von Finite–Element–R

aumen auf der zugrundeliegenden Tri-

angulierung T

beruht, wird vorausgesetzt, dass diese die Kompatibilit

atsbedingungen

erf

ullt [Cia78]. Die Galerkin–Finite–Element–Formulierung lautet also:

Finde c

∈ V

, so dass



, v



+ θ

∆t



ε∇c

, ∇v





· ∇c

+ r

, v





k−1

, v



− θ

∆t



ε∇c

k−1

, ∇v





k−1

· ∇c

k−1

+ r

k−1

, v



(III.13)

+θ

∆t



k−1

, v



+ θ

∆t



, v



ur alle v

∈ V

gilt.

Bei der numerischen Simulation von Konvektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichungen

ist es von Bedeutung, quantitative Aussagen zum Verh

altnis zwischen Konvektion, Dif-

fusion und Reaktion machen zu k

onnen, da die Galerkin–Finite–Element–Formulierung

ur konvektions- oder reaktionsdominante Gleichungen nicht numerisch stabil ist

[RST08]. Diese Stabilit

atsprobleme zeigen sich beispielsweise in stark ausgepr

agten un-

physikalischen Oszillationen, die in den berechneten L

osungen von Gleichung (III.13)

im gesamten Gebiet Ω auftreten und diese unbrauchbar werden lassen. Da die den

allungsprozess beschreibenden Gleichungen sowohl konvektions- als auch reaktions-

dominant sind, gilt hier

0 < ε  kuk

∞

(Ω)

0 < ε  krk

∞

(Ω)

Ein charakteristisches Kennzeichen solcher konvektions- und reaktionsdominanten Glei-

chungen ist unter anderem das Auftreten von scharfen Grenzschichten in deren L

osun-

gen. Ihre exakte numerische Simulation erfordert daher die Anwendung von Stabili-

sierungsmethoden, die einerseits die scharfen Grenzschichten berechnen k

onnen und

anderseits das Auftreten der unphysikalischen Oszillationen verhindern [JS08].

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