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§2 Modellierung des F

allungsprozesses 61

tersuchung der Umwandlungsreaktion verzichtet und wie im Folgenden, eine globale

Reaktionsgleichung f

ur das System angesetzt [WK04, KHS99],

A + B −→ C ↓ + D.

Den Ausgangspunkt der Charakterisierung des Partikelwachstums und einer sp

ater

erfolgenden Modellvalidierung bilden, neben den Eigenschaften der Partikel, vor allem

die Gleichungen f

ur die Konzentrations– und Geschwindigkeitsfelder innerhalb des Re-

aktors. Diese sollen nun aufgestellt werden. Dazu seien ec

[kmol/m

], i ∈ {A, B, C},

die Konzentrationen der gel

osten Substanzen A, B und des gel

osten Produktes C. Die

ebenfalls bei der Reaktion entstehende Substanz D wird nicht betrachtet, da sie f

die hier gew

ahlte Beispielreaktion weder einen Einﬂuss auf die Populationsbilanz noch

auf die kontinuierliche Phase besitzt [JMR

Innerhalb der physikalischen Chemie betrachtet man in der Reaktionskinetik die zeit-

liche Evolution von physikalisch–chemischen Vorg

angen. Dies geschieht mittels makro-

kinetischer Gleichungen, die, im Gegensatz zur Mikrokinetik, neben den zeitlichen Ab-

aufen einer Reaktion auch dem Einﬂuss von Transportph

anomenen Rechnung tragen

[Atk06, Brd90].

Die im Reaktor ablaufenden Transportprozesse werden hierf

ur in Diﬀusion und Kon-

vektion unterteilt. Dabei versteht man unter Diﬀusion einen Prozess, bei dem Ma-

terie durch die zuf

allige molekulare Bewegung von einzelnen Teilchen innerhalb eines

Systems transportiert wird [Cra64]. Ergibt sich aus den zuf

alligen Bewegungen der

Teilchen, etwa durch Mittelung, ein gerichteter Transport, so wird dieser durch einen

Konzentrationsgradienten ∇ec angetrieben, der die kontinuierliche r

aumliche Ver

ande-

rung der Konzentration beschreibt.

Eine quantitative Aussage

uber diese Bewegung erlaubt das empirische erste Gesetz

von Adolf Fick, welches sp

ater von Albert Einstein aus der Thermodynamik herge-

leitet wurde [ER06]. Es basiert auf der Hypothese, dass die Teilchenstromdichte

[kmol/m

s], proportional zum Konzentrationsgradienten ist

j = −D∇ec,

wobei die Proportionalit

atskonstante dem jeweiligen Diﬀusionskoeﬃzienten D, [m

/s],

der zugrundeliegenden Substanz entspricht. Da auch hier die Kontinuit

atsgleichung

(II.1) erf

ullt sein muss, gilt

∂ec

∂t

+ ∇ ·

j = 0 =⇒

∂ec

∂t

= D∆ec.

Dies entspricht dem zweiten Fick’schen Gesetz, welches eine Beziehung zwischen der

zeitlichen Ver

anderung der Konzentration, also der Reaktionsgeschwindigkeit und den

ortlichen Konzentrationsunterschieden herstellt [Atk06].

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