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6 Kapitel II Numerische Simulation turbulenter Str

omungen

Mit dem Satz von Gauß formt man das Oberﬂ

achenintegral um

∂V

u ds =

∇ · (e%

u) dV

und erh

alt



∂e%

∂

+ ∇ · (e%



dV = 0.

Da diese Aussage f

ur ein beliebiges Volumen V gilt, muss der Integrand verschwinden

∂e%

∂

+ ∇ · (e%

u) = 0. (II.1)

Dies ist die sogenannte Kontinuit

atsgleichung oder auch das Gesetz von der Erhal-

tung der Masse. Mit anderen Worten, der Fluss durch eine geschlossene Oberﬂ

ache,

welche weder Quellen noch Senken umschließt, ist Null. Dies ist ein

Aquivalent der

Aussage, dass Materie weder erzeugt noch zerst

ort werden kann.

Ubertragen auf die

Fluiddynamik besagt dies, dass die zeitliche

Anderung der Dichte e% der r

aumlichen

Anderung der Stromdichte, −∇ · (e%

u), entspricht.

Im Falle von inkompressiblen Fluiden, d.h. e% = const., reduziert sich die Kontinui-

atsgleichung (II.1) zu

∇ ·

u = 0. (II.2)

§1.2 Die Erhaltung des Impulses

Ein Erhaltungsgesetz legt fest, dass eine gegebene messbare Gr

oße eines a/jointfilesconvert/345248/bgeschlos-

senen physikalischen Systems keiner Ver

anderung w

ahrend der Evolution des Systems

unterliegt. Bei der Herleitung von Erhaltungss

atzen betrachtet man einzelne Gr

oßen

und die Gesamtheit ihrer Eigenschaften (z.B. Energie, Masse oder Impuls). Diese spie-

geln im Allgemeinen die zugrunde liegenden Erhaltungsprinzipien wider.

In der klassischen Mechanik wird bei der Beobachtung einer Gr

oße oft auf das Kon-

zept der Kontrollmasse zur

uckgegriﬀen. In der Fluiddynamik ist allerdings ein anderer

Ansatz

ublich. Hier wird ein Kontrollvolumen statt einer Kontrollmasse betrachtet,

da im Gegensatz zu Festk

orpern die Geschwindigkeit eines Fluides von der Position

abh

angen kann.

Dieser Ansatz erlaubt es, den Impuls eines Fluides mit Hilfe des folgenden Integrals

hinsichtlich des Kontrollvolumens darzustellen

m =

u dV.

Das 2. Newtonsche Gesetz, das Aktionsprinzip, beschreibt die Beziehung zwischen

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