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62 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

Diese Gleichung wird nun um den Konvektionsanteil erweitert. Dieser entspricht dem

kontinuierlichen Transport eines gel

osten oder kolloidal vorliegenden Stoﬀes, bedingt

durch die großskalige Str

omung innerhalb des Reaktors. Dies f

uhrt zu einer Erweiterung

der Teilchenstromdichte um einen zus

atzlichen Term,

j = −D∇ec +

u ec

und ergibt zusammen mit der Inkompressibilit

at des Fluides eine Konvektions–

Diﬀusionsgleichung,

∂ec

∂t

− D∆ec +

u · ∇ec = 0,

welche in der Regel von der Konvektion dominiert wird.

Eine allgemeinere Betrachtung der Transportgleichung f

ur eine skalare Gr

oße enth

alt

noch einen zus

atzlichen Term, der die Quellen und Senken der Gr

oße beschreibt. Dies

geschieht hier durch eine funktionale Beschreibung der chemischen Reaktion und ergibt

die makrokinetischen Gleichungen f

ur die beiden Ausgangsstoﬀe der Reaktion.

Das Verhalten, der den Edukten A und B zugrundeliegenden Konzentrationsfel-

der ec

und ec

, kann nun durch ein System von skalaren Konvektions–Diﬀusions–

Reaktionsgleichungen f

ur die entsprechenden Konzentrationen beschrieben werden,

∂ec

∂

− D

∆ec

u · ∇ec

(III.4)

+ er

chem

(ec

, ec

) = 0 in (0,

T ] ×

Ω, i ∈ {A, B} .

Hierbei bezeichnet D

den jeweiligen Diﬀusionskoeﬃzienten, (0,

T ] das untersuchte

Zeitintervall und

Ω die Reaktorgeometrie. Je h

oher die Konzentrationen der Ausgangs-

stoﬀe in einem Gebiet sind, desto gr

oßer ist dort auch die Reaktionsgeschwindigkeit,

da die Reaktion von A und B nur bei einem direkten Kontakt der gel

osten Stoﬀe statt-

ﬁnden kann. Daher wird die chemische Reaktion durch eine, von den Konzentrationen

abh

angige, Funktion modelliert,

chem

(ec

, ec

) = k

wobei er

chem

(ec

, ec

) die Einheit [kmol/(m

s)] hat. Die hier auftretende Gr

oße k

/(kmol s)], ist ein chemischer Modellparameter, der die von den Reaktanten ab-

angige Reaktionsrate beschreibt.

Die Gleichung f

ur das gel

oste Reaktionsprodukt C ist ebenfalls eine Konvektions–

Diﬀusions–Reaktionsgleichung. Sie ist durch die chemische Reaktion mit den Glei-

chungen der Reaktanten gekoppelt und enth

alt zus

atzlich noch einen Term f

ur den

Nukleationsprozess. Dar

uber hinaus enth

alt sie noch einen Term zur Beschreibung des

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