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§4 Die Variationelle Mehrskalen–Methode 29

Finde u : [0, T ] → V und p : (0, T ] → Q, so dass

, v) + (2Re

−1

D (u) , D (v)) + b (u, u, v) − (p, ∇ · v) = (f, v) , ∀v ∈ V,

(q, ∇ · u) = 0, ∀q ∈ Q,

(II.22)

erf

ullt ist, mit u (0, x) = u

(x) ∈ V und b (u, v, w) = ((u · ∇) v, w).

Um die Notation im Folgenden zu vereinfachen, wird f

ur die Gleichungen (II.22)

deren Kurzschreibweise

A (u; (u, p) , (v, q)) = F (v) ,

verwendet. Dabei beachte man, dass die Form A (u; (u, p) , (v, q)) = F (v) linear

in den Testfunktionen ist. Die Zerlegung der Ansatz- und der Testr

aume in die drei

Skalengruppen liefert

V =

V ⊕

V , Q =

Q ⊕

wobei (

· ) die großen Skalen, (

· ) die gel

osten kleinen Skalen und (

· ) die nichtgel

osten

kleinen Skalen beschreibt. Diese 3–Skalen–Zerlegung ergibt f

ur die Geschwindigkeit

und den Druck

u =

u +

u, p = ¯p + ˜p + ˆp

und f

ur die Testfunktionen

v =

v +

v, q = ¯q + ˜q + ˆq.

Damit kann die variationelle Form der Navier–Stokes–Gleichungen (II.22) als gekop-

peltes System von drei variationellen Gleichungen, je eine pro Skalentyp, dargestellt

werden:

Finde u =

u +

u : [0, T ] → V =

V ⊕

V und p = ¯p + ˜p + ˆp : (0, T ] → Q =

Q ⊕

Q, so dass

A (u; (

u, ¯p) , (

v, ¯q)) + A (u; (

u, ˜p) , (

v, ¯q)) + A (u; (

u, ˆp) , (

v, ¯q)) = F (

v) ,

A (u; (

u, ¯p) , (

v, ˜q)) + A (u; (

u, ˜p) , (

v, ˜q)) + A (u; (

u, ˆp) , (

v, ˜q)) = F (

v) ,

A (u; (

u, ¯p) , (

v, ˆq)) + A (u; (

u, ˜p) , (

v, ˆq)) + A (u; (

u, ˆp) , (

v, ˆq)) = F (

erf

ullt ist, f

ur alle (v, q) ∈ V × Q.

Die dritte Gleichung, welche die nichtgel

osten Gr

oßen der Testfunktionen repr

asen-

tiert, wird vernachl

assigt, da man diese Skalen nicht verf

ugbar hat. Da, wie schon

erl

autert, der direkte Einﬂuss der nichtgel

osten Skalen auf die großen Skalen ebenfalls

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