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78 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

nare Str

omungen betrachtet werden, ist f

ur diese weder eine Stabilisierung der r

aumli-

chen Diskretisierung der Navier–Stokes–Gleichungen [BBJL07] noch eine Anwendung

von Turbulenzmodellen notwendig [RST08]. Nach der L

osung der Navier–Stokes–

Gleichungen zum diskreten Zeitpunkt t

, ist das Geschwindigkeitsfeld u

berechnet,

das

uber die Kopplung in die Konvektionsterme der anderen Systemgleichungen ein-

ﬂießt. Danach werden zuerst die Reaktionsgleichungen der beiden Reaktanten gel

ost

und im Anschluss die Gleichung des Reaktionsproduktes und die Populationsbilanz der

Partikel.

Dazu wird das gekoppelte nichtlineare System (III.7) f

ur die Konzentrationsfelder

der Reaktanten c

und c

analog zu den Navier–Stokes–Gleichungen mit dem Crank–

Nicolson–Verfahren zeitlich diskretisiert und anschließend im diskreten Zeitpunkt t

mit einer Fixpunktiteration gel

ost. Dabei besteht jeder Schritt der Iteration aus zwei

Teilschritten:

1. L

ose die Diskretisierung von (III.7) f

ur c

A,k

mit der gegenw

artig verf

ugbaren

Approximation von c

B,k

2. Danach l

ose die Diskretisierung von (III.7) f

ur c

B,k

mit der in Teilschritt 1 be-

rechneten L

osung von c

A,k

Die neue Approximation von c

zum Zeitpunkt t

k+1

wird also mit der verf

ugbaren

Approximation von c

zum Zeitpunkt t

berechnet und danach wird unter Verwendung

dieser Approximation von c

der neue Wert von c

in t

k+1

bestimmt.

Man l

ost folglich mit c

(0)

B,k

= c

B,k−1

die Gleichungen

(i)

A,k

∆t



−

∞

∆c

(i)

A,k

+ u

· ∇c

(i)

A,k

+ k

∞

(i)

A,k

(i−1)

B,k



= c

A,k−1

∆t



−

∞

∆c

A,k−1

+ u

k−1

· ∇c

A,k−1

∞

A,k−1

B,k−1



(III.26)

und

(i)

B,k

∆t



−

∞

∆c

(i)

B,k

+ u

· ∇c

(i)

B,k

+ k

∞

(i)

A,k

(i)

B,k



= c

B,k−1

∆t



−

∞

∆c

B,k−1

+ u

k−1

· ∇c

B,k−1

∞

A,k−1

B,k−1



(III.27)

ur i = 1, 2, . . . im Reaktor Ω. Die Iteration wird beendet, wenn das Residuum des

gekoppelten Systems hinreichend klein ist, wobei das Stopp–Kriterium immer nur nach

dem Durchlauf beider Teilschritte der Fixpunktiteration gepr

uft wird. Bemerkenswert

ist zudem, dass nur der Term, der die chemische Reaktion beschreibt, aktualisiert

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