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70 Kapitel III FEM Simulation von F

allungsprozesse

§3.1.1 Die SUPG–Methode

Eine sehr popul

are Finite–Elemente–Stabilisierungsmethode f

ur konvektionsdominante

Probleme ist die sogenannte streamline–upwind Petrov–Galerkin method, die SUPG

a/jointfilesconvert/345248/bgek

urzt wird [BH82, HB79]. Diese addiert k

unstliche Diﬀusion in Stromlinienrichtung

K∈T



Residuum von (III.11), u

· ∇v



(III.14)

zur Gleichung (III.13). Die Parameterfamilie {τ

} ist abh

angig von den verwendeten

Gitterzellen K ∈ T

und kann auf verschiedene Arten bestimmt werden. Das Residuum

der Gleichung (III.11) ist hier deﬁniert als die Diﬀerenz zwischen der linken und der

rechten Seite.

Addiert man die SUPG–Stabilisierung zum diskreten Problem (III.13), erh

alt man



, v



K∈T

(τ

∆t

)



, u

· ∇v



+θ

∆t



ε∇c

, ∇v





· ∇c

+ r

, v



K∈T

(τ

∆t

)



(−ε∆c

+ u

· ∇c

+ r

) , u

· ∇v





k−1

, v



K∈T

(τ

∆t

)



k−1

, u

· ∇v



−θ

∆t



ε∇c

k−1

, ∇v





k−1

· ∇c

k−1

+ r

k−1

, v



K∈T

(τ

∆t

)



(−ε∆c

k−1

+ u

k−1

· ∇c

k−1

+ r

k−1

) , u

k−1

· ∇v



+θ

∆t



k−1

, v



K∈T

(τ

∆t

)



∆t

k−1

, u

· ∇v



+θ

∆t



, v



K∈T

(τ

∆t

)



∆t

, u

· ∇v



(III.15)

Die wichtigsten und schwierigsten Fragen bei der SUPG–Stabilisierung treten bei

der Wahl der Parameterfamilie {τ

} auf, was auch ein Grund f

ur die vielf

altige Li-

teratur zur Stabilisierung von Konvektions–Diﬀusionsgleichungen ist. Bei zeitabh

angi-

gen Konvektions–Diﬀusions–Reaktionsgleichungen, die beispielsweise F

allungsreaktio-

nen beschreiben, tritt besonders bei kleinen Zeitschrittweiten ∆t

die Situation auf,

dass, neben der Konvektionsdominanz, die Reaktion die Diﬀusion und die Konvektion

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